LA TOILE D'ARAIGNÉE

III. La Toile d'araignée

1. Généralités des toiles

La toile d’araignée a pour objectif principal d’être un piège efficace et permettre de capturer les proies. Elle doit être capable d’arrêter les insectes en plein vol, résister au vent, à la pluie et aux conditions particulières de l’environnement …

Il existe deux types de toiles: les régulières et les irrégulières aussi appelées tridimensionnelles. Les toiles irrégulières possèdent une structure plus grande et complexe qui n’a pas de patron.

La toile régulière orbiculaire est la plus connue et elle se caractérise par sa régularité géométrique c’est-à-dire la présence d’un patron. Une des caractéristiques importantes de ce type de toile est sa capacité de reprendre sa forme originelle après avoir été soumise à de grandes forces. Ce phénomène s´appelle l’auto-mémoire. Notre raisonnement suivant se fondera sur celle-ci.

Photographie d’une toile orbiculaire.

Photographie d’une toile irrégulière

2. Étude de la géométrie de la toile

Pour arriver à représenter une toile régulière orbiculaire, tout d’abord on analysera les étapes de sa construction par l’araignée.

Schéma de la première étape de la construction d'une toile d'araignée.

Schéma du résultat final.

Le premier pas consiste à la création d’un cadre. Puis, la construction des rayons a lieu, suivant un ordre bien précis de façon à équilibrer la toile. Vous pouvez voir le résultat au schéma au dessous à gauche.

Une fois que les raies sont faites, l’araignée tisse une spirale qui va du centre vers la périphérie. Cette spirale servira comme modèle pour la définitive. Alors l’araignée fini de tisser la spirale de repère, elle commence a construire la finale qui sera construite en partant de l’extérieure vers l’intérieur de la toile. Une fois finie, elle mange la spirale auxiliaire. (Schéma en bas à droite).

On cherchera par la suite, comment pourrons-nous modéliser cette toile.

Il faut savoir que le cadre ne nous intéresse pas pour notre recherche, puisqu’il ne donne aucune propriété importante pour notre avancée.

Par contre, les raies sont importants pour notre étude, et ils peuvent bien être représentés par exemple par des fractions de fonctions affines qui passent toutes par le centre de la toile (B, origine égale à 0) et de différents inclinaisons (A).

Leur formule serait y=Ax (elles sont donc linéaires).

D’autre part, on a décidé de chercher les différentes spirales mathématiques et utiliser celles qui modéliseraient mieux les toiles naturelles en respectant les besoins pour la création du filet chirurgical.

Les caractéristiques les plus importantes que nous cherchons sont:

Une même mesure pour les angles des différentes raies suivis
Une même distance entre les différents étages de la spirale
Un point central, d’où part la spirale.

Une fois qu’on saura les différents constituants de la construction, nous observerons les principales caractéristiques d’une toile d’araignée, pour pouvoir bien les représenter dans nos modèles.

Photographie d'une toile dans la forêt de Brocéliande.

Les différentes spirales qu’on va étudier sont :

A. Les spirales “fausses”, autrement dit les spirales à centres multiples.

B. La spirale de Théodore de Cyrène.

C. La spirale de Fibonacci, connue sous le nom de la Spirale d’Or.

D. La spirale d’Archimède.

A. Les Spirales “ Fausses” / Spirales à centres multiples.

Pour construire une spiral fausse à 2 points, premièrement on doit tracer un segment et sa droite respective. Puis dessiner un demi-cercle qui aura pour centre le milieu du segment, pour continuer la spirale on construit un demi-cercle que cette fois aura pour rayon le segment et son centre sera un des extrêmes du segment. Et successivement, chaque demi-cercle qu’on dessine aura le rayon deux fois plus grand que l'antécédent.

Pour les autres types de spirales par exemple à 3 points on utilise un triangle équilatéral, à 4 points avec un carré, etc. C’est le même principe. Cliquez en bas à droite du vidéo « voir sur youtube » pour voir en grand.

Vidéo illustrant la modélisation.

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Résultats des modélisations.

(Cliquez sur les photos pour mieux les voir.)

Résultats des modélisations.

(Cliquez sur les photos pour mieux les voir.)

Le problème que présentent ces types de spirales est, comme son nom l’indique, qu'elles n’ont pas qu'un point comme centre. Cela représente un inconvénient pour la formation d'une maille puisqu’il y aurait un trou au milieu et partie des organes pourraient transpercer.

B. La Spirale de Théodore de Cyrène.

Pour construire cette spirale, il faut, en premier lieu, dessiner un triangle rectangle isocèle puis à partir de ce triangle on doit former d’autres triangles rectangles avec un des côtés adjacents à l’angle droit collé à l’hypoténuse de l’antécédent, sans oublier que les angles complémentaires de chaque triangle doivent être adjoints les uns des autres. Cela forme une spirale très semblable à un escargot. Le côté adjacent des triangles est toujours égal à une unité.

Vidéo illustrant la modélisation.

Résultat de la manipulation.

Résultat de la manipulation. (Cliquer dessus pour aggrandir)

Mais lorsqu’on effectue plusieurs tours, les raies ne se superposent pas et les angles entre les raies varient et se font de plus en plus petits au centre de la toile. Il y a donc une accumulation excessive de tissu de filets chirurgicaux qui peuvent créer des réactions allergiques importantes et les pores formés par cette spirale ne seraient pas suffisamment grands pour permettre la guérison de l´hernie.

En addition cette modélisation ne respecte pas le modèle originel de l´araignée car lorsqu´elle construit sa toile, les angles semblent être égaux et les raies doivent se superposer.

C. La Spirale de Fibonacci ou Spirale d’Or.

Pour la construire tout d’abord il faut représenter le rectangle d’or. Pour le dessiner on commence par faire un carrée des dimensions qu’on veut, puis tracer un cercle ayant pour centre le milieu d’un des côtes et comme rayon la distance entre le milieu d’un côté et les extrêmes du coté opposé. Puis tracer la droite correspondante au segment auquel on a fait son milieu. Le point d’intersection entre cette droite et le cercle sera un des quatre points du rectangle. Les deux autres sont les deux points opposés à eux. Comme on a déjà trois des quatre points, on peut tracer le quatrième, grâce aux parallèles passant par ces points.

Une fois on a le rectangle d’or, on dessine un carrée inscrit dans le rectangle qui aura comme côté la largeur du rectangle. On trace un arc de cercle de rayons deux côtés adjacents du carrée et comme centre le point d'intersection des deux côtés et qui appartient aussi au rectangle plus petit formé lorsqu’on a fait le carrée. Et on procède de cette manière successivement.

Vidéo illustrant la modélisation.

Résultat de la manipulation.

Résultat de la manipulation. (Cliquez la photo pour aggrandir)

Le problème pour cette spirale est que les écarts entre les différents étages de la spirale ne sont pas constants, donc un des principes de la toile d’araignée n’est pas respecté.

D. La Spirale d’Archimède

Pour construire une spirale d’Archimède, on situe un point (il sera le centre de la toile) puis on construit plusieurs cercles ayant comme centre ce point. Les longueurs des rayons doivent respecter la différence par rapport au antécédent soit une constante (la première d’une unité le deuxième de deux unités et le troisième de trois unités…).

Une fois on a construit tout les cercles qu’on veut, on divise 360º par le nombre de raies qu’il faudra pour savoir l’écart régulier entre chaque rayons qu’on dessinera. Avec cette valeur on dessine les droites qui passerons toutes par le centre et qui auront comme écart la valeur trouvée.

Pour avoir les premiers points de notre spirale, on doit choisir une des raies. Le premier point est le centre du cercle. Le deuxième point sera l’intersection entre le cercle le plus petit et le raie choisi, le troisième sera l’intersection entre le deuxième cercle le plus petit et les raies situés vers la droite ou gauche mais il devra toujours correspondre au même sens et comme ceci jusqu’à placer le dernier point à l'intersection du cercle le plus grand. Une fois on les a tous, on les relie et c’est à ce moment là que la spirale apparaît.

Vidéo illustrant la modélisation.

Résultat de la manipulation. (Cliquez la photo pour aggrandir)

Cette spirale a bien un point de centre, une distance constante entre chaque raie et entre les différents étages de la spirale. Elle ne présente aucun défaut pour la modélisation c’est pour cela qu’on décide de l’utiliser pour notre projet.

Finalement, cette structure qu’on vient d’essayer de modéliser a une architecture qui permet de préserver la plupart de la toile grâce à un mécanisme qui consiste a sacrifier qu’un fil de la toile pour sauver le reste. Comme vous pouvez le voir dans la vidéo à droite de BBC Monde. Cliquez en bas à droite du vidéo « voir sur youtube » pour voir en grand.